Nuevas soluciones matemáticas a las ecuaciones que explican el espacio-tiempo

El sistema de ecuaciones en derivadas parciales de Hull-Strominger tiene su origen en la teoría de supercuerdas, donde describe los modelos más realistas del espacio-tiempo cuatridimensional proporcionados hasta la fecha por dicha teoría.

La primera vez que este sistema de ecuaciones se consideró en la literatura matemática fue en un artículo de 2005, firmado por el medallista Fields Shing-Tung Yau y el investigador de la Universidad de Standford Jun Li en el Journal of Differential Geometry.

Hay que recordar que el estudio matemático de estas ecuaciones está motivado por el problema de geometrización de cirugías en variedades algebraicas (descritas por ceros de polinomios) de dimensión compleja tres. Estos drásticos cambios en la forma (topología) de los espacios complejos, también conocidos como transiciones y flops, pueden dar lugar en el proceso de la ‘cirugía’ a espacios complejos no algebraicas, donde los métodos tradicionales del análisis y el álgebra no se pueden aplicar.

Desde un punto de vista físico, las cirugías se explican por medio de la formación de agujeros negros y su intercambio con cuerdas fundamentales entre dos modelos de la teoría, y el fenómeno de Simetría Espejo. Este tipo de simetría relaciona pares de espacios algebraicos de tipo Calabi-Yau, que dan lugar a la misma teoría cuántica de supercuerdas.

Evocando al mundo fantástico de J. K. Rowling, dos espacios serían simétricos si proyectan la misma imagen en el Espejo de Oesed. Conjeturalmente, este tipo de simetría se extiende al mundo de los espacios complejos no algebraicos, relacionando pares de soluciones de las ecuaciones de Hull-Strominger.

Soluciones simples

El trabajo de Mario García-Fernández, publicado recientemente en Journal für die reine und angewandte Mathematik, consta de dos partes diferenciadas.

En la primera parte, el autor construye nuevos ejemplos de soluciones del sistema de Hull-Strominger en espacios de tipo Calabi-Yau no algebraicos. Usando un ansatz natural para las soluciones, García-Fernández demuestra que la existencia de soluciones se reduce a criterios algebraicos (que provienen de la Teoría de Invariantes Geométricos introducida por D. Mumford) combinados con métodos analíticos elementales.

Sus soluciones son comparativamente mucho más simples que las encontradas por J.-X. Fu y Shing-Tung Yau por medio de la ecuación de Monge-Ampère compleja.

Propiedades cualitativas

En la segunda parte, el trabajo de García-Fernández estudia propiedades cualitativas de las nuevas soluciones encontradas en relación con la conjetural propuesta de Simetría Espejo de tipo (0,2) para espacios complejos no algebraicos.

Para ello, el autor prueba que sus soluciones aparecen en pares relacionados por medio de la T-dualidad Topológica, una versión geométrica de la relación de T-dualidad entre teorías cuánticas de campos descubierta en física a mediados de la década del 80.

Su construcción proporciona los primeros ejemplos de soluciones T-duales del sistema de Hull-Strominger en variedades complejas no algebraicas, y candidatos naturales a pares con simetría espejo.

Primeros ejemplos

Partiendo de esta investigación, García-Fernández junto con los investigadores L. Alvarez-Consul y Andoni de Arriba de La Hera del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM), han encontrado en un reciente preprint (repositorio arXiv: 2012.01851, en evaluación) los primeros ejemplos de espacios no algebraicos relacionados por la Simetría Espejo de tipo (0,2).

Este hallazgo se ha logrado por medio de un detallado estudio de la geometría de la garganta de agujeros de gusano en la teoría de supercuerdas, causados por la presencia de un objeto extendido conocido como 5-brana.

La investigación de Álvarez-Consul, De Arriba de La Hera y García-Fernández combina la T-dualidad Topológica con la moderna teoría de álgebras de vértices. Esta teoría fue introducida por el matemático y medallista Fields R. Borcherds de la Universidad de Standford en 1986, para demostrar una sorprendente relación, denominada “luz de luna”, entre el Grupo Monstruo (conocido así por tener más de 8·10⁵³ elementos) y ciertas funciones analíticas conocidas como formas modulares.

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Referencia bibliográfica:

Mario Garcia-Fernandez. 2020. T-dual solutions of the Hull–Strominger system on non-Kähler threefolds, Journal für die reine und angewandte Mathematik 766, 137-150. https://doi.org/10.1515/crelle-2019-0013