¿Cómo detectar la propiedad de Wada en sistemas dinámicos?

La propiedad de Wada dificulta de manera especial la predicción de los sistemas dinámicos no lineales y, por ello, ha sido estudiada en sistemas tan dispares como agujeros negros binarios, sistemas ecológicos o artefactos mecánicos. Investigadores del Grupo de Dinámica No Lineal, Teoría del Caos y Sistemas Complejos de la Universidad Rey Juan Carlos, que dirige el catedrático de Física Miguel A.F. Sanjuán, han publicado recientemente un artículo en el que exponen diferentes métodos para determinar cuándo un sistema dinámico posee la propiedad de Wada. La investigación se ha publicado en Discrete and Continuous Dynamical Systems – B como artículo invitado con motivo de la publicación de un número especial para conmemorar los 20 años de la revista.

Las cuencas de Wada son un caso especial en el que tres o más cuencas de atracción de un sistema comparten una misma frontera. “Esta peculiaridad matemática, casi inconcebible a la par que ubicua, hace que el más mínimo error en la determinación de condiciones iniciales cercanas a una frontera con la propiedad de Wada puede hacer que el sistema termine en cualquiera de los posibles destinos finales, ya sea un atractor o un escape hacia el infinito”, explica Miguel A.F. Sanjuán.

El grupo de físicos de la URJC es líder en la investigación de la impredecibilidad en sistemas no lineales y, en particular, sobre la propiedad de Wada. “En los últimos años, hemos desarrollado diferentes métodos para detectar y caracterizar la propiedad de Wada en diferentes situaciones”, explica Alexandre Wagemakers. Precisamente en este trabajo se recogen dichos métodos y se comparan entre sí y también con el método original desarrollado hace casi 30 años por el grupo del profesor James Yorke, doctor honoris causa de la URJC. “Durante muchos años las investigaciones sobre la propiedad de Wada empleaban únicamente el método de Nusse-Yorke, ya que no había otra cosa”, subraya el profesor Sanjuán. “Nosotros hemos elaborado tres métodos nuevos (el método de la rejilla, el método de la fusión de cuencas y el método del saddle-straddle), que permiten detectar fronteras Wada con mucha mayor rapidez, en más situaciones e incluso de forma automatizada”, añade.

Nuevos métodos para la predicción de fronteras Wada

Cada uno de los métodos desarrollados por el grupo de investigación de la URJC se aprovecha de algún aspecto particular de la propiedad de Wada. Por un lado, el algoritmo de la rejilla divide el espacio de fases en una cuadrícula en la que se realizan refinamientos sucesivos, permitiendo caracterizar cuantitativamente la estructura de las fronteras. Por otro, el método de la fusión de cuencas hace uso de la ‘invarianza’ de las fronteras Wada al fusionar las cuencas de dos en dos, permitiendo detectar la propiedad de Wada en una imagen en cuestión de segundos. Finalmente, el método del saddle-straddle se basa en la computación de la silla caótica del sistema, permitiendo obtener la precisión que se desee en la detección de las fronteras Wada. “Al estudiarla desde diferentes perspectivas, estos algoritmos numéricos nos han permitido comprender la propiedad de Wada en mayor profundidad”, concluye Álvar Daza.

Referencia bibliográfica del artículo

Alexandre Wagemakers, Alvar Daza, and Miguel A. F. Sanjuán. How to detect Wada basins. DCDS-B 26(1): 717-739 (2021) doi:10.3934/dcdsb.2020330; https://arxiv.org/abs/2005.05923

Otras referencias

Alvar Daza, Alexandre Wagemakers, Miguel A. F. Sanjuán, and James A. Yorke. Testing for Basins of Wada. Sci. Rep. 5, 16579 (2015).

Alvar Daza, Alexandre Wagemakers, and Miguel A. F. Sanjuán. Ascertaining when a basin is Wada: the merging method. Sci. Rep. 8, 9954 (2018).

Alexandre Wagemakers, Alvar Daza, and Miguel A. F. Sanjuán. Thesaddle-straddle method to test for Wada basins. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 84, 105167(2020)